Coma pitagórica

Un error de cálculo que nadie puede corregir

El artículo Igual, mesotónico, justo: por qué tu piano está algo desafinado presenta la coma así: partiendo de Do se apilan doce quintas justas, es decir, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯, La♯, Mi♯ y más allá hasta la nota Si♯. La última nota debería ser, tras doce quintas, de nuevo un Do, siete octavas más arriba. No lo es: queda algo menos de un cuarto de semitono desviada, más exactamente 23,46 cents.

La razón es puramente matemática. Una quinta justa tiene la proporción 3:2, una octava 2:1. Doce quintas y siete octavas llevan a dos números que no pueden ser iguales, porque una potencia de 3 nunca es una potencia de 2.

De ello se sigue, según el artículo: un instrumento de teclado con doce notas por octava no puede tener todos los intervalos justos. En algún sitio hay que alojar el error. Toda la historia de los sistemas de afinación es la historia de la pregunta de dónde exactamente.

¿Adónde va la coma?

El artículo da tres respuestas:

• Afinación justa: Los intervalos de una sola tonalidad se fijan exactamente según proporciones sencillas (tercera 5:4, quinta 3:2). En esa tonalidad todo suena impecable. Si se modula, se vuelve insoportable, algunos intervalos se desvían más de 20 cents. Para los coros a cappella sigue siendo el caso normal, porque los cantantes pueden ajustar la altura continuamente. Véase Afinación justa.
• Afinación mesotónica: Hace justas las terceras mayores y reduce por ello un poco cada quinta. En las tonalidades habituales suena cálida. El precio es una única quinta horriblemente desafinada, la quinta del lobo, normalmente entre Sol♯ y Mi♭.
• Temperamento igual: La coma se reparte de forma totalmente uniforme, cada semitono es la raíz duodécima de dos. Ninguna quinta ni tercera es justa, pero todas las tonalidades son igual de buenas. La quinta queda 2 cents demasiado baja, algo que nadie oye, la tercera mayor 14 cents demasiado alta.

La cifra 2 encaja con la coma: doce quintas, cada una reducida en algo menos de 2 cents (exactamente 1,955), suman justo los 23,46 cents en que las quintas justas se pasaban.

La coma y el círculo de quintas

En la página Círculo de quintas se da la consecuencia para el gráfico: el amplio reconocimiento del círculo solo fue posible gracias al temperamento igual. Solo entonces se cierran las doce quintas en un círculo perfecto. Sin temperamento igual, doce quintas justas superpuestas superan siete octavas en la coma pitagórica de unos 23,46 cents.

Allí se dice también para qué se pensó la buena temperación: Bach escribió con El clave bien temperado un preludio y una fuga en cada una de las 24 tonalidades mayores y menores, para mostrar que cada tonalidad era tocable en un único instrumento. «Bien temperado» no significa forzosamente temperamento igual, sino afinaciones en las que todas las tonalidades suenan utilizables.

Lo que se oye de esto

El artículo describe las consecuencias cotidianas. Quien afina un piano y lleva cada cuerda exactamente a cero cents tiene un instrumento afinado en temperamento igual y una tríada de Do mayor cuya tercera queda 14 cents demasiado alta. El acorde bate ligeramente, y eso es normal: un compromiso incorporado, no un defecto. Los cuartetos de cuerda, los coros de trombones y los conjuntos vocales cantan las terceras más bajas de lo que las tendría el piano, porque el oído corrige hacia la ausencia de batidos. Por eso un acorde a cappella suena a menudo más puro que el mismo acorde en el piano de cola. También un afinador mide contra la cuadrícula del temperamento igual, es decir, contra un compromiso.

Errores frecuentes

• Confundir coma y cent: La coma es una diferencia entre dos notas. El cent es la unidad en la que se mide.
• Tomar la coma por un error de afinación: No es una imprecisión del instrumento, sino una propiedad de los números 3 y 2.
• Contar doce notas como doce quintas: Desde Do, once quintas llegan a la nota Mi♯, solo la duodécima lleva a Si♯. La cadena de quintas Do–Sol–Re–La–Mi–Si–Fa♯–Do♯–Sol♯–Re♯–La♯–Mi♯ tiene doce notas, pero solo once quintas.