Igual, mesotónico, justo: por qué tu piano está algo desafinado

Un problema aritmético que nadie puede arreglar

Apila doce quintas puras hacia arriba desde do —do, sol, re, la, mi, si, fa♯, do♯, sol♯, re♯, la♯, mi♯— y aterrizarás en una nota que debería volver a ser un do, siete octavas más arriba. No lo es. Falla por poco menos de un cuarto de semitono: 23,46 cents exactamente.

La razón es aritmética y no se puede sortear. Una quinta pura es la proporción 3:2 y una octava 2:1. Doce quintas dan (3/2)¹² ≈ 129,746; siete octavas dan 2⁷ = 128. Esos dos números no son iguales y no pueden serlo, porque una potencia de tres nunca es una potencia de dos. La diferencia se llama coma pitagórica.

De ahí se sigue que un teclado con doce notas por octava no puede tener todos sus intervalos puros. El error hay que meterlo en alguna parte. Toda la historia de los temperamentos es la historia de la pregunta de dónde exactamente.

Tres respuestas de tres siglos

La entonación justa fija los intervalos de una única tonalidad exactamente según las proporciones simples: tercera 5:4, quinta 3:2. En esa tonalidad todo es impecable. Si se modula, se vuelve insoportable: algunos intervalos se desvían más de 20 cents. Para los coros a capella la entonación justa es, aun así, lo normal, porque los cantantes ajustan la altura continuamente.

El temperamento mesotónico, dominante del siglo XVI hasta bien entrado el XVIII, reparte el error de otro modo: deja puras las terceras mayores y a cambio estrecha un poco cada quinta. El resultado suena maravillosamente cálido en las tonalidades de uso corriente. El precio es una única quinta espantosamente desafinada, la llamada quinta del lobo, normalmente entre sol♯ y mi bemol. Las obras que la tocaban eran sencillamente intocables en esos instrumentos.

El temperamento igual, norma desde el siglo XIX, reparte la coma de forma perfectamente uniforme: cada semitono es exactamente la raíz duodécima de dos. Ninguna quinta es pura, ninguna tercera es pura, pero todas las tonalidades son igual de buenas, e igual de imperfectas. La quinta queda 2 cents baja, lo que nadie oye. La tercera mayor queda 14 cents alta, y eso sí se oye en cuanto uno ha reparado en ello.

Qué significa esto en el día a día

Si afinas un piano de modo que cada cuerda marque exactamente cero cents, tienes un instrumento en temperamento igual y un acorde de do mayor cuya tercera está 14 cents alta. Ese acorde bate ligeramente, y es lo normal. No es un defecto del instrumento, sino el compromiso incorporado en el sistema.

Con instrumentos de altura variable la cosa cambia. Los cuartetos de cuerda, las bandas de metales y los grupos vocales tocan y cantan las terceras más bajas de lo que las tendría el piano, automáticamente y sin acordarlo, porque el oído corrige hacia la ausencia de batidos. Por eso mismo un acorde a capella suena a menudo más puro que el mismo acorde en un piano de cola.

Y por eso combinar piano y coro es acústicamente exigente. El coro tira hacia la entonación justa, el piano se queda en el temperamento igual, y ambos rozan en las terceras. Los directores con experiencia prefieren por ello dar los acordes sin tercera en los ensayos, o prescindir del instrumento en cuanto la afinación se sostiene.

La guitarra añade una dificultad propia: los trastes están colocados según el temperamento igual, pero la presión del dedo eleva la tensión de la cuerda de manera distinta según el grosor y la posición. Por eso un acorde de mi mayor al aire suena algo torcido en muchas guitarras aunque todas las cuerdas al aire marquen cero cents; ahí solo ayudan la entonación en el puente y, para la tercera mayor sol♯, una tercera cuerda afinada a conciencia un pelo baja.

Desde la práctica

La demostración que convence de forma fiable dura treinta segundos y necesita una guitarra. Se toca el armónico sobre el traste siete de la cuerda la (una quinta justa sobre el fundamental, es decir, un mi puro) junto con la cuerda mi aguda al aire. Ambos deberían ser el mismo mi. No lo son del todo: la quinta justa queda unos 2 cents por encima de la temperada, lo que a 330 Hz da un batido lento de unos 0,4 Hz, una vez cada dos segundos y medio, audible en una sala tranquila si se escucha con atención. Eso no es la coma, sino la desviación de una sola quinta, aproximadamente una doceava parte de ella. La coma entera, de unos 23 cents, solo aparece cuando se apilan doce quintas.

Con alumnos avanzados merece la pena la vía histórica a través de una partitura. El «Clave bien temperado» de Bach, de 1722, recorre las veinticuatro tonalidades, algo que habría sido imposible en un instrumento mesotónico. «Bien temperado» no significa expresamente «igual», sino un temperamento repartido de forma desigual en el que todas las tonalidades son tocables pero cada una conserva su carácter. Que si bemol mayor sonara distinto de si mayor era para el público de Bach un hecho audible, no una figuración.

Un error de concepto típico entre quienes aprenden: tomar el afinador como medida de la pureza. Un afinador mide contra la rejilla del temperamento igual, es decir, contra un compromiso. Cuando un instrumentista de viento toca en el conjunto su tercera 12 cents por debajo de lo que marca la pantalla, no está afinando mal: está afinando puro. Decir esa frase en voz alta una vez ahorra más de una discusión de ensayo.

Cómo lo resuelve en la práctica un afinador de pianos

Un afinador no empieza por una tecla cualquiera, sino que establece primero el llamado temperamento: alrededor de una octava en el centro del instrumento, normalmente de fa a fa. Solo esas doce notas se afinan por cálculo; todo lo demás se deriva después en octavas puras, y las octavas se pueden afinar sin batidos y por tanto de forma inequívoca.

Dentro del temperamento no se afina puro, sino por número de batidos. En ese registro una quinta en temperamento igual bate aproximadamente una vez cada segundo y medio, mientras que una tercera mayor bate varias veces por segundo. El afinador cuenta esos batidos y comprueba después: una cadena ascendente de terceras tiene que acelerarse de manera uniforme. Si no lo hace, hay un error en la cadena, y se puede acotar hasta la nota exacta.

A esto se añade una particularidad práctica: las cuerdas del piano son rígidas y producen por ello parciales que quedan mínimamente por encima del múltiplo entero. Por eso el bajo se afina algo más grave y el agudo algo más agudo de lo que dicta el cálculo: es lo que se llama estiramiento. Un piano que marque exactamente cero cents en las siete octavas suena de hecho mal. Aquí la desviación es la corrección.